[선형대수] 제1장: 벡터란 무엇인가?

숫자를 좌표로써 도입한 것은 기존의 틀을 깬 혁명이었다.
- 수학자 헤르만 바일 - 

 

 

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1. 벡터의 근본적 개념

선형대수의 모든 것의 뿌리이자 기본 주춧돌은 벡터임. 벡터는 여러 분야에서 서로 다른 관점으로 해석되는데, 대표적으로 세 가지 관점이 있음:

• 물리학적 관점:
  벡터는 공간에서 특정한 방향과 크기를 가진 화살표로 이해됨.
  • 화살표의 길이는 크기를 나타내며, 방향은 그 화살표가 가리키는 방향을 나타냄.
  • 중요한 점은, 같은 크기와 방향을 가지면 화살표의 위치(평행 이동)는 달라도 동일한 벡터로 봄.
• 컴퓨터 과학적 관점:
  벡터는 순서가 정해진 숫자들의 나열임.
  • 예를 들어, 집의 데이터를 분석할 때 집의 평수와 가격이라는 두 가지 특성만 고려한다면, 각 집은 [평수, 가격]이라는 2차원 벡터로 표현됨.
  • 여기서 순서가 중요한 역할을 하며, 나열된 숫자의 개수가 벡터의 차원을 결정함.
• 수학적(추상적) 관점:
  벡터는 “더할 수 있고, 스칼라(숫자)로 곱할 수 있는” 모든 대상임.
  • 이 관점은 앞의 두 관점을 모두 일반화한 것으로, 벡터 공간이라는 추상적 개념을 도입함.
  • 다만, 이 추상적 정의는 후반부에 다루므로 지금은 구체적인 기하학적(화살표) 및 숫자 나열 관점에 집중함.

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2. 좌표평면에서의 벡터 표현

선형대수에서는 벡터를 다룰 때 좌표계 내에 있는 원점에 뿌리를 둔 화살표로 생각함.

• 2차원 공간의 경우:
  • x축(수평)과 y축(수직)이 있음.
  • 두 축이 만나는 점, 즉 원점은 벡터의 시작점(꼭짓점)임.
  • 각 축에 일정한 간격(틱 마크)를 두어 좌표를 정의하며, 벡터의 끝(팁)은 x축과 y축에 따라 [x, y]라는 숫자 쌍으로 나타냄.
• 3차원 공간의 경우:
  • 여기에 z축이 추가됨.
  • 벡터는 [x, y, z]라는 순서쌍(사실은 삼중항)으로 표현되며, 각각 x축, y축, z축 방향으로 얼마나 이동해야 하는지를 나타냄.

좌표로 표현된 벡터는 기하학적(화살표) 관점과 숫자들의 리스트 관점 사이를 자유롭게 오갈 수 있는 다리 역할을 함.

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3. 벡터의 덧셈: Tip-to-Tail 방법

벡터 덧셈의 기본 아이디어는, 두 개의 벡터가 나타내는 이동(움직임)을 연속적으로 수행했을 때의 전체 이동을 하나의 벡터로 표현하는 것임.

• 기하학적 설명:
  • 예를 들어, 첫 번째 벡터가 “위로 약간 오른쪽”을 가리키고, 두 번째 벡터가 “오른쪽으로, 약간 아래”를 가리킨다고 할 때,
  • 두 번째 벡터의 시작점을 첫 번째 벡터의 끝(팁)에 맞춰 놓음.
  • 그 후, 첫 번째 벡터의 시작점(원점)에서부터 두 번째 벡터의 끝까지 직선으로 연결하면, 이 연결선이 두 벡터의 합임.
• 숫자 나열 관점에서의 설명:
  • 예시로, 벡터 A = [1, 2]와 벡터 B = [3, -1]이 있을 때,
  • 두 벡터의 합은 각 성분별로 더함:
    • x성분: 1 + 3 = 4
    • y성분: 2 + (-1) = 1
  • 결과적으로 A + B = [4, 1]이 됨.
  • 이는 두 벡터의 이동을 각각 x, y축 방향으로 더한 결과와 동일함.

이 과정은 숫자 덧셈의 확장이라고 볼 수 있음. 한 차원의 수직선에서 “두 걸음을 합치는” 것과 비슷한 원리임.

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4. 스칼라 곱: 벡터의 크기 조절

벡터에 숫자(스칼라)를 곱하는 연산은 벡터의 길이(크기)를 늘리거나 줄이거나, 방향을 뒤집는 역할을 함.

• 기하학적 설명:
  • 예를 들어, 벡터에 2를 곱하면 해당 벡터의 길이가 2배가 됨.
  • 1/3을 곱하면 길이가 1/3로 줄어듦.
  • 음수를 곱하면, 벡터의 방향이 반대로 뒤집히면서 길이는 절댓값에 해당하는 배수만큼 조정됨.
• 숫자 나열 관점에서의 설명:
  • 벡터가 [a, b]라면, 스칼라 c를 곱한 결과는 [c·a, c·b]가 됨.
  • 각 성분에 동일한 스칼라 값을 곱해주는 것으로, 벡터의 크기가 조절되는 효과를 보임.

이러한 스칼라 곱은 선형대수에서 “벡터 스케일링”이라고도 불리며, 공간 내에서 벡터의 확대/축소 및 반전 효과를 직관적으로 이해할 수 있게 함.

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5. 벡터 연산의 중요성 및 응용

벡터 덧셈과 스칼라 곱이라는 두 기본 연산은 선형대수의 거의 모든 주제의 중심에 있음.

• 벡터 덧셈은 두 이동(혹은 변화)을 결합하여 하나의 총합 이동을 표현하는 방법임.
• 스칼라 곱은 숫자를 통해 벡터의 크기와 방향을 조절함으로써, 벡터 공간 내에서의 “스케일링”을 가능하게 함.

이 두 연산은 기하학적(화살표) 관점과 숫자(리스트) 관점 사이의 번역 역할을 하며,

• 데이터 분석에서는 많은 숫자들의 집합(벡터)을 시각화하여 패턴을 파악하는 데 유용함.
• 물리학이나 컴퓨터 그래픽스에서는 공간 내에서의 움직임, 변환, 회전 등을 숫자로 표현하여 컴퓨터로 계산할 수 있게 함.

즉, 벡터와 그 연산을 이해하면, 추상적인 수학적 개념뿐 아니라 실제 세계의 문제들을 효과적으로 다룰 수 있는 도구를 갖추게 됨.

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6. 결론

벡터는 단순히 화살표나 숫자들의 나열을 넘어서,

• 물리학적인 공간에서의 이동을,
• 컴퓨터 과학적인 데이터 표현을,
• 수학적인 추상적 구조를,
  하나로 묶어주는 중요한 개념임.

벡터에 대해 기초적인 이해를 갖추면, 이후에 등장하는 스팬(span), 기저(basis), 선형 독립성(linear independence) 등의 개념을 보다 명확히 이해할 수 있게 됨.
이처럼 벡터 연산의 기본 원리를 정확히 이해하는 것이 선형대수를 공부하는 데 있어 핵심임.

 

 

 

 

 

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https://youtu.be/ArgTeYVuJUo?si=7GvjE-rVvHMcD9nt