수학은 천재가 아닌, 적은 양의 상상의 자유를 필요로 한다. 덧붙여, 더 많은 양에서의 그것을 우린 광기라 부른다.
- 수학자 앵거스 K. 로저스 -
1. 좌표를 스칼라로 보는 새로운 관점
벡터를 (예를 들어) (3, –2)라는 숫자 쌍으로 표현할 때, 보통은 단순히 x축 방향으로 3, y축 방향으로 –2만큼 이동하는 점이라고 해석함. 그런데 여기서는 각 숫자를 스칼라로서 바라봄.
- î (아이햇): 오른쪽을 향하고 길이가 1인 특별한 벡터
- ĵ (제이햇): 위쪽을 향하고 길이가 1인 특별한 벡터
이제 (3, –2)는
- 3이라는 스칼라가 î를 늘려 3배로 만들고,
- –2라는 스칼라가 ĵ를 뒤집고 2배로 만들며,
두 벡터를 더한 결과임을 알 수 있음.
즉, (3, –2)는 3·î + (–2)·ĵ로 표현됨.
이러한 해석은 좌표계 자체가 두 개의 기저 벡터 î와 ĵ로 구성되어 있음을 보여줌. 각 좌표(스칼라)는 그 기저 벡터를 얼마나 “스케일링”하는지를 결정함.
2. 선형 결합 (Linear Combination)
두 벡터에 각각 스칼라를 곱하고, 그 결과를 더하는 과정을 선형 결합이라고 함.
- 선형 결합의 일반적 형태는 “a·v + b·w”와 같이 나타냄.
- 여기서 a, b는 스칼라(숫자)이고, v, w는 벡터임.
왜 '선형'일까?
- 한 스칼라를 고정한 상태에서 다른 스칼라를 자유롭게 변화시키면, 결과 벡터의 끝(팁)이 직선을 따라 움직임.
- 예를 들어, î에 대한 스칼라 a를 고정하고 ĵ에 대한 스칼라 b만 변화시키면, 결과 벡터의 끝은 ĵ 방향의 직선 위를 따라 이동함.
- 두 스칼라 모두를 자유롭게 변화시키면, 그 끝은 2차원 평면 전체(혹은 선택한 기저 벡터들이 생성하는 공간)를 채움.
이처럼 선형 결합은 벡터 덧셈과 스칼라 곱이라는 두 기본 연산을 사용해 벡터들을 “섞어” 새로운 벡터를 만들어내는 기본 도구임.
3. Span (생성 집합)
어떤 벡터들 v₁, v₂, …, vₙ의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터의 집합을 span이라고 함.
- 예를 들어, î와 ĵ의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터의 집합은 2차원 평면 전체임.
- 두 벡터가 만약 서로 평행(일직선상)에 있다면, 그 선형 결합으로는 한 직선 위의 벡터들만 만들어짐.
2차원 예시
- 일반적인 기저 벡터 î, ĵ를 사용하면:
span{î, ĵ} = 평면 전체 - 만약 선택한 두 벡터가 서로 다른 방향을 가리키지만 일직선상에 있다면:
span{v, w} = 그 두 벡터가 놓인 직선
3차원으로 확장
- 3차원 공간에서 두 벡터가 평행하지 않다면, 그 선형 결합은 한 평면(원점을 지나가는 평면)을 형성함.
- 세 번째 벡터가 이 평면 위에 있지 않다면, 세 벡터의 선형 결합으로 3차원 공간 전체를 채울 수 있음.
즉, span은 “오직 벡터 덧셈과 스칼라 곱만으로 도달할 수 있는 모든 점(또는 벡터)”을 의미함.
4. 기저 (Basis)와 선형 독립성 (Linear Independence)
기저(Basis)의 정의
- 어떤 벡터 공간의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 표현할 수 있는, 선형 독립인 벡터들의 집합을 기저라고 함.
- 기저 벡터들이 만들어내는 span이 전체 벡터 공간임.
선형 독립 (Linearly Independent)
- 집합 내의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없다면, 그 집합은 선형 독립임.
- 만약 한 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현된다면, 그 벡터는 “중복”된 정보임(즉, 선형 종속임).
예시로 살펴봄
- î와 ĵ는 서로 다른 방향(서로 평행하지 않음)이므로 선형 독립이며, 이 둘의 선형 결합은 2차원 평면 전체를 생성함.
- 반면, 만약 두 벡터가 서로 같은 방향을 가리킨다면, 한 벡터는 다른 벡터의 스케일 배에 불과함. 이 경우 두 벡터는 선형 종속이며, 실제 생성하는 span은 한 직선에 한정됨.
기저의 중요성
- 기저를 선택하면, 벡터 공간 내의 모든 벡터가 기저 벡터들의 고유한 선형 결합으로 표현될 수 있음.
- 이는 좌표계를 정의하는 것과 동일하며, 어떤 벡터가 어떤 스칼라들에 의해 만들어졌는지를 유일하게 결정할 수 있는 토대를 제공함.
- 또한, 기저의 선택은 좌표 표현에 영향을 주므로, 다른 기저를 선택하면 같은 벡터라도 다른 숫자 쌍(혹은 삼중항)으로 표현됨.
5. 좌표계와 기저의 다양성
영상에서 강조하는 중요한 점 중 하나는,
- 우리가 벡터를 숫자로 표현할 때 암묵적으로 어떤 기저 벡터들을 선택하고 있다는 사실임.
- 가장 일반적으로 사용되는 기저는 î와 ĵ(혹은 3차원에서는 î, ĵ, k̂)임.
- 하지만 다른 방향을 가리키는 벡터들을 선택해도, 그 두 벡터(혹은 세 벡터)가 선형 독립이면 전혀 문제 없음.
- 다만, 기저가 달라지면 같은 벡터라도 표현되는 좌표 값은 달라짐.
- 즉, 좌표와 벡터 사이의 관계는 기저의 선택에 따라 결정됨.
예를 들어, 평면에서 (3, –2)를 î, ĵ 기저로 표현하면 3·î + (–2)·ĵ가 됨.
그러나 만약 다른 두 벡터 v와 w를 기저로 선택하면, (3, –2)를 나타내기 위한 스칼라들은 달라질 것임.
6. 선형 결합과 span을 통한 공간 생성
선형대수의 모든 핵심 개념은 벡터 덧셈과 스칼라 곱에 기반함.
- 선형 결합은 개별 벡터들을 스칼라로 스케일한 후 더하는 연산임.
- 이를 통해, 특정 기저 벡터들의 span이 전체 벡터 공간(또는 부분 공간)을 형성함.
2D와 3D에서의 예시
- 2차원: 두 개의 선형 독립인 벡터의 선형 결합은 평면 전체를 생성함.
- 3차원:
- 두 벡터가 평행하지 않으면 그 span은 한 평면임.
- 여기에 제3의 벡터(평면에 있지 않은 벡터)를 추가하면, 세 벡터의 선형 결합은 3차원 공간 전체를 생성함.
이러한 관점은 선형대수가 벡터 공간의 생성(Span)을 탐구하는 학문임을 보여줌.
또한, 벡터들이 서로 어떻게 “서로의 공간”을 보완하며 전체 공간을 이루는지, 즉 기저를 통해 공간을 구성하는 원리를 직관적으로 이해할 수 있게 해줌.
7. 결론
- 좌표 해석의 재정의:
벡터의 좌표는 단순히 수의 나열이 아니라, 각 수가 기저 벡터를 스케일링하는 역할을 함.
이로 인해 선형 결합의 개념이 자연스럽게 등장하며, 벡터 공간 전체를 생성할 수 있음. - Span과 기저의 핵심 역할:
- Span: 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터의 집합임.
- 기저(Basis): 벡터 공간을 “생성”하면서도 각 벡터가 고유하게 표현될 수 있도록 하는, 선형 독립인 벡터들의 집합임.
- 좌표계의 선택과 변화:
좌표는 선택한 기저에 따라 달라지며, 이는 기저 변경(좌표 변환) 문제와 직결됨.
서로 다른 기저를 통해 같은 벡터 공간을 다르게 바라볼 수 있음. - 선형대수의 근본:
선형 결합, span, 기저의 개념은 이후 행렬, 선형 변환, 고유값 등 더 심화된 개념으로 확장되는 기초임.
이 기본 개념들을 정확히 이해하면, 나중에 등장하는 복잡한 문제들도 보다 명확하게 풀어갈 수 있음.
영상에서 제시한 “퍼즐”과 같이, 왜 기저의 정의가 “선형 독립인 벡터들의 집합으로서 그 span이 전체 공간인” 것이 타당한지 스스로 고민해보면, 선형대수의 아름다움을 더욱 깊게 체험할 수 있음.
벡터 공간의 기저는 공간 전체를 생성하는 선형 독립인 벡터의 집합이다.
이 문장은 벡터 공간의 기저(basis)를 정의하는 말임. 즉, 벡터 공간의 기저는 "서로 선형 독립인 벡터들의 집합"인데, 이 벡터들을 가지고 모든 벡터(전체 공간)를 선형 결합으로 만들어낼 수 있다는 뜻임.
좀 더 풀어서 설명하면:
- 선형 독립이라는 말은, 기저에 속한 벡터들 중 어느 하나도 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 없다는 의미임.
- 만약 어떤 벡터가 다른 벡터들의 조합으로 만들어질 수 있다면, 그 벡터는 중복되는 정보(즉, 불필요한 요소)임.
- 따라서, 기저에 포함된 각 벡터는 고유한 방향이나 역할을 가지며, 서로 중복되지 않음.
- span이 전체 공간이라는 말은, 그 기저 벡터들의 선형 결합으로 벡터 공간 내의 어떤 벡터도 표현할 수 있다는 의미임.
- 즉, 기저 벡터들에 적당한 스칼라들을 곱하고 모두 더하면, 그 공간의 임의의 벡터를 만들어낼 수 있음.
- 예를 들어, 3차원 공간에서 3개의 선형 독립인 벡터가 있다면, 이 세 벡터의 선형 결합으로 3차원 공간의 모든 벡터를 유일하게 표현할 수 있음.
이 정의가 아름답다고 느껴지는 이유는, 복잡해 보이는 전체 벡터 공간이 단 몇 개의 "순수한" 벡터들, 즉 기저 벡터들만으로 완벽하게 설명되고 구성될 수 있다는 점 때문임.
- 응집력: 기저라는 개념 하나로 벡터 공간의 모든 요소를 설명할 수 있음. 이는 복잡한 세계를 단순한 구성 요소로 환원하여 이해할 수 있다는 점에서 매력적임.
- 통일성: 서로 다른 좌표계나 표현 방식에도 불구하고, 어떤 기저를 선택하더라도 벡터 공간의 본질은 변하지 않음.
- 다른 기저를 선택하면 표현 방식(좌표값)은 달라지지만, 벡터 공간의 구조와 성질은 동일함.
- 유일성: 기저를 통해 어떤 벡터가 어떤 스칼라 조합으로 표현되는지가 유일하게 결정될 수 있음.
- 이는 문제를 단순화하고, 다양한 계산과 이론 전개에 강력한 도구가 됨.
결국, "선형 독립인 벡터들의 집합으로서 그 span이 전체 공간인" 정의는, 단 몇 개의 핵심 벡터들만으로 전체 공간의 복잡한 구조를 압축해서 나타낼 수 있다는 점을 보여줌. 이 단순하면서도 강력한 아이디어가 바로 선형대수의 아름다움으로 이어짐.
https://youtu.be/2CcCOgDilO8?si=MKISz9bYlM9vHMaO
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